2022年青島成人高考專升本《高等數(shù)學(xué)一》考點筆記(3)

　　導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考點

　　考點1 函數(shù)單調(diào)性的判定

　　設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

　　1.若對于任意的x∈(a,b)，有f'(x)>0，則y=f(x)在[a,b]上為單調(diào)增加的函數(shù).

　　2.若對于任意的x∈(a,b)，有f'(x)<0，則y=f(x)在[a,b]上為單調(diào)減少的函數(shù).

　　考點2 函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件

　　1.必要條件

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x?處可導(dǎo)，且在點x?處取得極值，則在點x?處必有f'(x?)=0或f'(x?)不存在，即x?必為函數(shù)f(x)的駐點或不可導(dǎo)點.

　　反之不成立，即函數(shù)f(x)的駐點或不可導(dǎo)點并不一定就是極值點.

　　2.第一種充分條件

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x?的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x?)=0(或在點x?處f'(x)不存

　　在).若在此鄰域內(nèi)：

　　(1)當(dāng)x0，而當(dāng)x>x?時，f'(x)<0，則f(x)在點x?處取得極大值f(x?);

　　(2)當(dāng)x0，則f(x)在點x?處取得極小值f(x?);

　　若當(dāng)xx?時，f'(x)不改變符號，則f(x)在點x?處不取得極值.

　　3.第二種充分條件

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x?處具有二階可導(dǎo)，且f'(x?)=0，f''(x?)≠0.若

　　(1)f”(x?)<0，則f(x)在點x?處取得極大值f(x?).

　　(2)f”(x?)>0，則f(x)在點x?處取得極小值f(x?).

　　(3)f”(x?)=0，則函數(shù)f(x)在點x?處可能取得極值，也可能不取得極值，這時需要用第一種充分條件判定.

　　考點3 最大值與最小值的求法

　　閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)必定存在最大值與最小值.

　　求最大值與最小值的一般方法是：

　　1.求出f(x)在(a,b)內(nèi)的所有駐點、導(dǎo)數(shù)不存在的點.

　　2.求出上述各點及區(qū)間兩個端點x=a，x=b處的函數(shù)值.

　　3.進(jìn)行比較，其中最大的數(shù)值即為f(x)在[a,b]上的最大值，而其中最小的數(shù)值即為

　　f(x)在[a,b]上的最小值.

　　考點4 曲線凹凸性的判定

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo).

　　1.若在(a,b)內(nèi)有f”(x)>0，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)為凹的.

　　2.若在(a,b)內(nèi)有f”(x)<0，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)為凸的.

　　考點5 曲線拐點的判定

　　對于在(a,b)內(nèi)的連續(xù)曲線弧y=f(x)，判定拐點的一般方法是：

　　1.求出該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，并求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零的點，以及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點.

　　2.判定上述各點兩側(cè)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是否異號，如果f''(x)在x?的兩側(cè)異號，則(x?,f(x?))為曲線弧y=f(x)的拐點.

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